Родился в 1955 году в Москве. Окончил Московский энергетический институт в 1978 году и Московскую государственную консерваторию им. П.И. Чайковского (по классу композиции у Михаила Чулаки) в 1984. В 1991 окончил аспирантуру при Московской консерватории по специальности «композиция» (класс Эдисона Денисова).

С 2005 года работает в Московской консерватории, преподает композицию и оркестровку. Профессор.

• Лауреат Всесоюзного конкурса композиторов (первая премия, 1985)
• Лауреат Международного конкурса композиторов Guido d’Arezzo в Италии (первая премия, 1989)
• Лауреат Международного конкурса композиторов Henri Dutilleux во Франции (гран-при, 1996)
• В 2007 году был удостоен почетного звания «Заслуженный деятель искусств Российской Федерации»
• В 2008 году был удостоен правительственной награды Франции «Кавалер Ордена Искусств и Литературы Франции»
• В 2009 году Национальная газета «Музыкальное обозрение» назвала его «композитором года»
• В 2015 году был удостоен почетного звания «Заслуженный деятель культуры Казахстана»

В 1990 году основал Московский Ансамбль Современной Музыки (МАСМ) и в течение 18 лет являлся его художественным руководителем.

В настоящий момент каталог произведений Юрия Каспарова включает в себя около 60 симфонических партитур и около 80 камерных, среди которых особое место занимают композиции для большого ансамбля солистов (симфониетты).

Мировые премьеры произведений Юрия Каспаров проходили во Франции, Италии, Германии, Австрии, Испании, Англии, Швейцарии, Бельгии, Польше, Венгрии, Швеции, Дании, Норвегии, Казахстане, Коста-Рике, Румынии, Финляндии, Украине, Японии, США и России. Только в одной Франции состоялось около 20 мировых премьер, из которых две трети — в Париже.

Произведения Юрия Каспарова записаны многими известными компаниями. Авторские компакт-диски были изданы фирмами Olympia (Англия), Le Chant du Monde и Harmonia Mundi (Франция), Vista Vera (Россия) и другими.